Salut,
Dacă dăm valori lui n de la 1 la 2003, am obține 2003 de valori pentru fracția din enunț. Dacă însă, avem valori k multiple (care se repetă), atunci cardinalul mulțimii M (numărul ei de elemente) este 2003 -- k.
Dar numitorul n + 1 și numitorul 2n + 1 sunt prime între ele, adică singurul lor divizor comun este 1.
Demonstrăm prin reducere la absurd, adică presupunem că există d un divizor comun, diferit de 1.
d deci pe n + 1 și divide și pe (2n + 1).
Dacă d divide pe n + 1, atunci divide orice multiplu al lui n + 1, deci d | 2(n + 1).
Deci d | 2n + 2 (semnul | înseamnă divide).
Dacă d divide pe 2n + 2, și simultan și pe 2n + 1, atunci d divide și diferența lor, deci d | 2n + 2 -- (2n + 1) = 2n + 2 -- 2n -- 1 = 1, deci d | 1, adică d este chiar 1.
Asta intră în contradicție cu presupunerea că d este diferit de 1.
Am demonstrat deci că numitorul n + 1 și numărătorul 2n + 1 sunt prime între ele.
Asta înseamnă că nu vom avea vreo valoare a lui n pentru care să avem divizibilitate între n + 1 și 2n + 1. De aici avem că fracția din enunț ia toate cele 2003 valori.
Ai înțeles rezolvarea ?
Green eyes.
