Răspuns:
a) n=0 și n=3
b) n=3
Explicație pas cu pas:
a)
n+3 divide pe n+9 ⇒ fracția [tex]\frac{n+9}{n+3}[/tex] este număr natural.
[tex]\frac{n+9}{n+3} = \frac{n+3+6}{n+3} = \frac{n+3}{n+3} + \frac{6}{n+3}[/tex]
Evident, primul termen al sumei este egal cu 1.
Ne ocupăm acum de al doilea, care trebuie să fie un număr natural. Asta înseamnă că n+3 este divizor al lui 6.
Divizorii lui 6 sunt 1, 2, 3 și 6. Le luăm pe rând:
n+3 = 1 ⇒ n=-2 - nu poate fi soluție, pentru că n trebuie să fie natural.
n+3 = 2 ⇒ n = -1 : nu poate fi soluție, pentru că n trebuie să fie natural.
n+3 = 3 ⇒ n=0: este soluție, pentru că 0 este număr natural
n+3 = 6 ⇒ n=3: este soluție, pentru că 3 este număr natural
b) [tex]\frac{3x+1}{x+2} = \frac{3x+6 - 5}{x+2} = \frac{3(x+2) - 5}{x+2} = \frac{3(x+2)}{x+2} - \frac{5}{x+2}[/tex]
Am prelucrat puțin numărătorul și am ajuns la un rezultat format din doi termeni: primul este egal cu 3 (pentru că x+2 se simplifică), iar în continuare ne ocupăm de termenul al doilea. Acesta trebuie să fie un număr natural, ceea ce înseamnă că x+2 trebuie să fie divizor al lui 5.
5 are doi divizori: 1 și 5. Le luăm pe rând:
x+2 = 1 ⇒ x=-1 : nu poate fi soluție, pentru că x trebuie să fie natural
x+2 = 5 ⇒ x = 3 : este soluție, pentru că 3 este număr natural.
