Fie [tex]\displaystyle\\n\in\mathbb{N}[/tex], în funcție de restul împărțirii lui n la 4, avem:
Dacă [tex]n=4k,~k\in\mathbb{N}[/tex], avem [tex]\textnormal{U}(2^{4k})=6.[/tex]
Dacă [tex]n=4k+1,~k\in\mathbb{N}[/tex], avem [tex]\textnormal{U}(2^{4k+1})=2.[/tex]
Dacă [tex]n=4k+2,~n\in\mathbb{N}[/tex], avem [tex]\textnormal{U}(2^{4k+2})=4.[/tex]
Dacă [tex]n=4k+3,~k\in\mathbb{N}[/tex], avem [tex]\textnormal{U}(2^{4k+3})=8.[/tex]
Un pătrat perfect poate avea ca și ultimă cifră : 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Acum, revenind la problemă, avem:
[tex]\textnormal{U(a)}}=\textnormal{U}(\underbrace{(2^{1504}+2^{1505}+2^{1506}+2^{1507}}_{\textnormal{U}(2+4+6+8)=0})+...+2^{2002})[/tex], incercam să facem grupe de câte 4 pentru simplitate, cum 2002=4*500+2, vom avea în ultima grupă trei termeni, [tex]2^{2002},~2^{2001},~2^{2000}[/tex], așadar:
[tex]\boxed{\textnormal{U(a)}=(0+0+...+2^{2000}+2^{2001}+2^{2002})=\textnormal{U}(6+2+4)=2}~.[/tex]
Cum un pătrat perfect nu poate avea ultima cifră 2, obținem că a nu este pătrat perfect.
