Răspuns:
a) 6
b) 1
c) 5
d) 9
e) 8
f) 3
g) 1
h) 4
Explicație pas cu pas:
Mod de lucru: se analizează ultima cifră a numărului pentru puteri crescătoare, începând cu 1, până se remarcă un model (de la un moment dat vom observa că ultima cifră se repetă). După identificarea modelului, stabilim ultima cifră în funcție de puterea la care se ridică numărul.
a) uc 2¹ = 2
uc 2² = 4 (rezultat din 2·2)
uc 2³ = 8 (rezultat din 4·2)
uc 2⁴ = 6 (rezultat din 8·2)
uc 2⁵ = 2 (rezultat din 6·2)
Observam că uc se repetă după fiecare 4 ridicări la putere. Astfel, avem 4 situatii:
pentru n = 4k+1, uc 2ⁿ = 2
pentru n = 4k+2, uc 2ⁿ = 4
pentru n = 4k+3, uc 2ⁿ = 8
pentru n = 4k, uc 2ⁿ = 6
Cum 8 are forma 4k, ⇒ 2⁸ are ultima cifră 6
b) uc 3¹ = 3
uc 3² = 9 (rezultat din 3·3)
uc 3³ = 7 (rezultat din 9·3)
uc 3⁴ = 1 (rezultat din 7·3)
uc 3⁵ = 3 (rezultat din 1·3)
Ultima cifră se repetă din 4 în 4. Avem 4 situații:
pentru n = 4k+1, uc 3ⁿ = 3
pentru n = 4k+2, uc 3ⁿ = 9
pentru n = 4k+3, uc 3ⁿ = 7
pentru n = 4k, uc 3ⁿ = 1
Cum 8 are forma 4k, ⇒ 3⁸ are ultima cifră 1
c) uc 5¹ = 5
uc 5² = 5
Indiferent la ce putere se ridică, 5ⁿ are ultima cifră 5
d) pentru sumă, luăm termenii pe rând:
la punctul c, am stabilit că ultima cifră a lui 5ⁿ = 5
Analizăm pe 6:
uc 6¹ = 6
uc 6² = 6
Indiferent la ce putere se ridică, 6ⁿ are ultima cifră 6
Analizăm pe 8
uc 8¹ = 8
uc 8² = 4
uc 8³ = 2
uc 8⁴ = 6
uc 8⁵ = 8
Ultima cifră se repetă din 4 în 4. Avem 4 situații:
pentru n = 4k+1, uc 8ⁿ = 8
pentru n = 4k+2, uc 8ⁿ = 4
pentru n = 4k+3, uc 8ⁿ = 2
pentru n = 4k, uc 8ⁿ = 6
429 are forma 4k+1 (pentru că la impărțirea la 4 dă rest 1).
Avem uc 8⁴²⁹ = 8
uc (5²⁰³ + 6²³⁵ + 8⁴²⁹) = uc (5+6+8) = uc (19) = 9
e) ne folosim de rezultatul de la punctul a.
2011 are forma 4k+3 (pentru că la impărțirea la 4 dă rest 3).
uc 2²⁰¹¹ = 8
f) uc 7¹ = 7
uc 7² = 9
uc 7³ = 3
uc 7⁴ = 1
uc 7⁵ = 7 - ultima cifră se repetă din 4 în 4. Avem următoarele 4 situații:
pentru n = 4k+1, uc 7ⁿ = 7
pentru n = 4k+2, uc 7ⁿ = 9
pentru n = 4k+3, uc 7ⁿ = 3
pentru n = 4k, uc 7ⁿ = 1
2011 are forma 4k+3 (pentru că la impărțirea la 4 dă rest 3).
uc 7²⁰¹¹ = 3
g) pentru 3²⁰¹¹ ne folosim de rezultatul de la punctul b:
2011 are forma 4k+3, uc 3ⁿ = 7
Analizăm pe 4:
uc 4¹ = 4
uc 4² = 6
uc 4³ = 4
ultima cifră se repetă din 2 în 2, astfel:
pentru n = 2k+1 (adică pentru n = impar), uc 4ⁿ = 4
pentru n = 2k (adică pentru n = par), uc 4ⁿ = 6
Cum 2011 are forma 2k+1 (este impar), uc 4²⁰¹¹ = 4
uc (3²⁰¹¹ + 4²⁰¹¹) = uc (7+4) = uc (11) = 1
h)
pentru uc 7²⁰⁰³ ne folosim de punctul f:
2003 are forma 4k+3, așadar uc 7²⁰⁰³ = 3
pentru uc 8²⁰⁰⁷ ne folosim de punctul d, unde l-am analizat pe 8ⁿ
2007 are forma 4k+3, așadar uc 8²⁰⁰⁷ = 2
Analizăm uc 9²⁰¹¹
uc 9¹ = 9
uc 9² = 1
uc 9³ = 9
ultima cifră se repetă din 2 în 2, astfel:
pentru n = 2k+1 (adică pentru n = impar), uc 9ⁿ = 9
pentru n = 2k (adică pentru n = par), uc 9ⁿ = 1
2011 are forma 2k+1 (impar), așadar uc 9²⁰¹¹ = 9
uc (7²⁰⁰³ + 8²⁰⁰⁷ + 9²⁰¹¹) = uc (3+2+9) = uc (14) = 4
