Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a)
Notam cu O mijlocul lui AD
AD = diametru ⇒ O = centrul cercului
⇒OA ≡ OM ≡ ON
⇒ΔMAO si ΔNAO = isoscele ⇒ ∡AMO ≡ ∡MAO si ∡ANO ≡ ∡NAO (1)
AB ≡ AC ⇒ΔABC = isoscel ; AD⊥BC ⇒AD = bisectoare si mediana in ΔABC
⇒∡BAD ≡ ∡CAD ⇔ ∡MAO ≡ ∡NAO (2)
din (1) si (2) ⇒∡AMO ≡ ∡MAO ≡ ∡NAO ≡ ∡ANO
m(∡AOM) = 180° - [m(∡AMO) + m(∡MAO)]=180° - [m(∡ANO) + m(∡NAO)] = m(∡AON)
⇒∡AOM ≡ ∡AOM
OM ≡ ON
AO = latura comuna
⇒ΔAOM ≡ ΔAON
⇒ AM ≡ AN
b) in ΔABC AD este bisectoare, inaltime si mediana ⇒ DB ≡ DC ⇒ DC = BC=2 = 40/2 = 20cm
AD = diametru
⇒ ΔADN este dreptunghic
ΔADC este dreptunghic
∡DAC ≡ ∡NAD
⇒ ΔADN ≈ ΔADC ⇒ AD/AC = AN/AD ⇒ AN = AD²/AC
In ΔADC aplicam T, Pitagora : AD² + DC² = AC²
⇒AD² = AC² - DC² = 25² - 20² = 625 - 400 = 225
Deci AN = AD²/AC = 225/25 = 9 cm
AM ≡ AN ⇒ ΔAMN este isoscel
ΔABC este isoscel
∡MAN ≡ ∡BAC
⇒ ΔAMN ≈ ΔABC ⇒ MN/BC = AN/AC
⇒ MN =AN ·BC/AC = 9·40/25 = 360/25 = 14,4 cm
