Răspuns:
Fie M un punct oarecare in interiorul triunghiului ABC si A' apartine BC, B' apartine AC si C' apartine AB.
Δ = Aria
ΔAMC=[tex]\frac{1}{2}*MB'*AC[/tex]
ΔAMB=[tex]\frac{1}{2}*MC'*AB[/tex]
ΔBMC=[tex]\frac{1}{2}*MA'*BC[/tex]
Stim ca ΔABC = ΔAMC+ΔAMB+ΔBMC = [tex]\frac{latura^2*\sqrt{3} }{4}=\frac{8^2\sqrt{3} }{4}=\frac{64\sqrt{3} }{4}=16\sqrt{3}[/tex]
=> ΔAMC+ΔAMB+ΔBMC=[tex]\frac{1}{2}*MB'*AC[/tex][tex]+\frac{1}{2}*MC'*AB[/tex][tex]+\frac{1}{2}*MA'*BC=16\sqrt{3}[/tex]
[tex]=> \frac{1}{2}(MB'*AC+MC'*AB+MA'*BC)=16\sqrt{3}|*2[/tex]
[tex]MB'*AC+MC'*AB+MA'*BC=32\sqrt{3}[/tex]
Cum Triunghiuol ABC este echilateral => AB=BC=AC=a
[tex]=> a(MB'+MC'+MA')=32\sqrt{3}[/tex]
Stim din ipoteza ca AB=BC=AC=a=8
[tex]=> 8(MB'+MC'+MA')=32\sqrt{3}|:8[/tex]
[tex]MB'+MC'+MA'=4\sqrt{3} m[/tex]
Raspunsul corect este b) [tex]4\sqrt{3} m[/tex]
