Conditii de existenta
Atunci cand efectuam operatii cu radicali de forma [tex]\sqrt{a} = b[/tex] avem doua tipuri de conditii :
Conditii de existenta
Expresia de sub radical trebuie sa dea un numar natural. (a>0)
In cazul nostru :
8x+1 >=0, deci x>=-1/8
x+1>=0 , deci x>=-1
Astfel x apartine [-1/8,infinit)
Conditii de compatibilitate
Termenul din cealalta parte a ecuatiei trebuie sa fie numar natural (b>0)
In cazul nostru trebuie ca
[tex]7-\sqrt{8x+1} >= 0[/tex]
[tex]7-\sqrt{x+1} >=0[/tex]
Acestea sunt doar conditiile initiale ! Pe parcursul rezolvarii exercitiului s-ar putea sa dam de alte conditii.
Rezolvarea ecuatiei :
Ridicam la patrat :
8x+1-x-1 -2[tex]\sqrt{(8x+1)(x+1)}[/tex] = 49
7x - 2[tex]\sqrt{8x^{2} +9x+1}[/tex] = 49
[tex]-2\sqrt{8x^{2} +9x+1} = 49-7x[/tex]
[tex]\sqrt{8x^{2} +9x+1} = \frac{7x-49}{2}[/tex]
Acum avem iar conditii de existenta :
[tex]8x^{2} +9x+1>=0[/tex]
De unde rezulta ca x apartine (-inf,-1] U [-1/8,inf)
Dar si conditii de compatibilitate :
7x-49 >=0
De unde rezulta ca x>=7
Dupa cum vezi x=3 nu respecta aceasta conditie. Aici era problema
Domeniul de definitie final este intersectia tuturor domeniilor impuse de conditii, fie ca acestea reies din prima ecuatie, fie ca reies dintr-o ecuatie intermediara.
In concluzie, atunci cand efectuam operatii cu radicali :
- E necesar sa evaluam in mod corect toate conditiile necesare
- E necesar sa verificam solutia la final pentru a ne asigura ca toate valorile gasite sunt corecte.
