Notăm {O}=AC intersectat cu BD
[ABCD]-pătrat => AO=OC=DO=OB=AC/2=AB√2/2
=> AC=BD=AB√2
AV=VC=> ∆AVC-is.
Cum O-mijl. AC, înseamnă că VO este mediană în ∆AVC. Se știe că într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și bisectoare, și mediatoare și înălțime.
VO - înălțime în ∆AVC=> VO_|_AC => ∆AVO este dreptunghic în <AOV
∆AOV-dp. în <AOV=>(din T lui Pitagora) AO²+OV²=AV²
Notăm AV=AB=x.
AO²+OV²=AV²
[tex] {( \frac{x \sqrt{2} }{2} )}^{2} + ov ^{2} = {x}^{2} [/tex]
[tex] \frac{2 {x}^{2} }{4} + {ov}^{2} = {x}^{2} [/tex]
[tex]2 {x}^{2} + 4 {ov}^{2} = 4 {x}^{2} [/tex]
[tex]4 {ov}^{2} = 4 {x}^{2} - 2 {x}^{2} [/tex]
[tex]4 {ov}^{2} = 2 {x}^{2} [/tex]
[tex]2 {ov}^{2} = {x}^{2} = > x = ov \sqrt{2} \: \: sau \: \: ov = \frac{x}{ \sqrt{2} } = \frac{x \sqrt{2} }{2} [/tex]
Cum OV=AO=x√2/2 și ∆AVO- dp în <AOV, atunci ∆AOV este dreptunghic isoscel, deci m(<VAO)=m(<AVO)=45°.
m(VA, (ABC))= m(<VAO)=45°.
