Pe ansamblu, datorită faptului că funcția logaritmică este injectivă,
vom scrie egalitatea dintre argumentele funcției, vom ajunge la o
ecuație auxiliară, ale cărei soluții trebuie să le verificăm în
ecuația inițială.
Funcția logaritmică se aplică numai numerelor pozitive.
[tex]\it d)\ \ log_{0,2}\ \dfrac{x-2}{x+1}=log_{0,2}\ \dfrac{1}{2x-4} \Rightarrow \dfrac{x-2}{x+1}=\dfrac{1}{2x-4} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow (2x-4)(x-2)=(x+1)\cdot1 \Rightarrow 2(x-2)(x-2)=x+1 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 2(x^2-4x+4)=x+1 \Rightarrow 2x^2-8x+8-x-1=0 \Rightarrow 2x^2-9x+7=0 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 2x^2-2x-7x+7=0 \Rightarrow 2x(x-1)-7(x-1)=0 \Rightarrow (x-1)(2x-7)=0 \Rightarrow[/tex]
[tex]\it \Rightarrow x_1=1,\ \ \ x_2=\dfrac{7}{2}=3,5[/tex]
Verificăm dacă aceste valori ale lui x sunt soluții ale ecuației logaritmice
[tex]\it Pentru\ x=1, membrul\ st\hat{a}ng\ al\ ecua\c{\it t}iei\ devine:\\ \\ log_{0,2}\ \dfrac{1-2}{1+1} = log_{0,2}\ \dfrac{-1}{2}\ \Rightarrow x=1\ nu\ convine[/tex]
Logaritmul se aplică numai numerelor pozitive.
[tex]\it x=3,5 \Rightarrow log_{0,2}\ \dfrac{3,5-2}{3,5+1}=log_{9,2}\ \dfrac{1}{2\cdot3,5-4} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow log_{0,2}\ \dfrac{^{2)}1,5}{\ 4.5}=log_{0,2}\ \dfrac{1}{7-4} \Rightarrow log_{0,2}\ \dfrac{\ 3^{(3}}{9}=\ log_{0,2}\ \dfrac{1}{3} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow\ log_{0,2}\dfrac{1}{3}=log_{0,2}\dfrac{1}{3}\ (A)\ \Rightarrow x=3,5\ este\ solu\c{\it t}ie\ unic\breve a\ pentru\ ecua\c{\it t}ia\ dat\breve a[/tex]
a)
[tex]\it log_2(x+1)=log_2(-x+3) \Rightarrow x+1=-x+3 \Rightarrow x+x=3-1 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1[/tex]
Verificare:
[tex]\it x=1 \Rightarrow log_2(1+1)=log_2(-1+3) \Rightarrow log_22=log_22 \Rightarrow 1=1\ (A)[/tex]
Deci, ecuația dată admite soluția x=1
b)
[tex]\it lg(x-1)=lg(x^2-x-16) \Rightarrow x-1=x^2-x-16 \Rightarrow x^2-2x-15=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^2-5x+3x-15=0 \Rightarrow x(x-5)+3(x-5)=0 \Rightarrow (x-5)(x+3)=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x_1=-3,\ \ x_2=5[/tex]
O veificare imediată implică x=5 este soluție a ecuației logaritmice.
