Salut,
Având în vedere că unghiul α este în cadranul I a cercului trigonometric, atât sinα, cât și cosα sunt numere strict pozitive.
Știm că:
2·sinα·cosα = sin(2α) (1)
Aplicăm inegalitate mediilor pentru 1/sinα și 1/cosα:
[tex]\dfrac{\dfrac{1}{sin\alpha}+\dfrac{1}{cos\alpha}}2\geqslant\sqrt{\dfrac{1}{sin\alpha}\cdot\dfrac{1}{cos\alpha}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{sin\alpha}+\dfrac{1}{cos\alpha}\geqslant 2\cdot\sqrt{\dfrac{2}{sin(2\alpha)}}\ (2).[/tex]
Cum α este în cadranul I, atunci pot exista valori ale lui 2α care sunt în cadranul al II-lea. Indiferent dacă sunt în cadranul I, sau în cadranul II, avem că sin(2α) ≤ 1.
De aici rezultă că 1/sin(2α) ≥ 1 ⇔ 2/sin(2α) ≥ 2.
Dacă aplicăm radical la această inegalitate și folosim rezultatul în inegalitatea (2), atunci obținem exact inegalitatea din enunț.
Ai înțeles rezolvarea ?
Green eyes.
