1. Efectuam intai impartirea, apoi adunarile si scaderile:
5 + 225 : 15 - 15 = 5 + 15 - 15 = 5
2. Resturile posibile impartirii la 4 sunt: 0, 1, 2 si 3.
Conform teoremei impartirii cu rest, pentru a : b = c rest d, cunoastem ca
a = c•b + d
Pentru a afla numerele, nu avem de cat sa aplicam relatia pentru impartirea la 4 cu caturile si resturile 0, 1, 2, respectiv 3.
0•4+0=0 (0 impartit la 4 da catul 0 si restul 0)
1•4+1=5 (5 impartit la 4 da catul 1 si restul 1)
2•4+2=10 (10 impartit la 4 da catul 2 si restul 2)
3•4+3=15 (15 impartit la 4 da catul 3 si restul 3)
Suma lor va fi 0 + 5 + 10 + 15 = 30
3. Numarul cu 17 mai mare decat 4 va fi: 4 + 17 = 21
4. 5 ridicat la patrat este egal cu 5•5 = 25
5. 18:x+4 = 10
18:x=10-4
18:x=6
x=18:6
x=3
6. a = 7
a - 9 = 7 - 9 = -2
7. (3² - 2³)²⁰¹⁷ = (3•3 - 2•2•2)²⁰¹⁷ = (9-8)²⁰¹⁷ = 1²⁰¹⁷ = 1
8. abc=100a+10b+c
bca=100b+10c+a
cab=100c+10a+b
abc + bca + cab = 111a + 111b + 111c = 111•(a+b+c) => este divizibil cu 111
111 : 37 = 3 => 111•(a+b+c) = 37•3•(a+b+c) => este divizibil cu 37
9. Numerele impare consecutive au diferenta intre ele egala cu 2.
Adica daca avem 1, 3, 5, ...
3-1=2 si 5-3=2 si asa mai departe
Vom nota primul numar impar cu 2n+1 (pentru ca 2n este par pentru orice numar natural n)
Astfel, numerele noastre vor fi: 2n+1, 2n+3 si 2n+5 (din 2 in 2).
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 39
6n + 9 = 39
6n = 39 - 9 = 30
n = 30 : 6 = 5
2n + 1 = 2•5 + 1 = 10 + 1 = 11
Deci cele trei numere vor fi 11, 13 si 15.
10. Am atasat mai jos imaginea pentru acest exercitiu.
11. Notam varstele celor doi cu x, respectiv y.
x+y=41
In urma cu 10 ani, Claudiu avea x-10 ani, iar Cristina y-10 ani, deci
y-10=(x-10):2
y=(x-10):2+10=x:2-10:2+10=x:2-5+10=x:2+5
Inlocuim pe y in prima relatie si obtinem:
x+x:2+5=41
Inmultim fiecare termen cu 2 si obtinem:
2x+x+10=82
3x=82-10
3x=72
x=24
deci y=24:2+5=12+5
y=17
a) Cristina are 17 ani acum
b) Notam ca in urma cu z ani varsta Cristinei era doua treimi din varsta lui Claudiu si avem:
17-z=2:3•(24-z)
17-z=24•2:3-z•2:3
17-z=16-2z:3
Inmultim cu 3 fiecare termen si obtinem:
51-3z=48-2z
51-48=3z-2z
z=3
In urma cu 3 ani Cristina avea doua treimi din varsta lui Claudiu.
