Explicație pas cu pas:
Avem legea de compozitie:
[tex]x*y=x+y+xy[/tex]
a) Daca o lege de compozitie este asociativa, atunci are loc relatia:
[tex](x*y)*z=x*(y*z)[/tex]
Pentru orice x,y,z din multimea pe care este definita legea.
Deoarece
[tex]x*y=x+y+xy\\(x*y)*z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+zx+zy+xyz[/tex]
De asemenea:
[tex]y*z=y+z+zy\\x*(y*z)=x+y+z+zy+x(y+z+zy)=z+y+yz+xy+xz+xyz[/tex]
Avem aceleasi expresii pentru x*(y*z) si (x*y)*z, prin urmare, legea este asociativa.
b) Avem:
[tex]1*\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2} + 2\cdot \frac{1}{2}=2\\2*\frac{1}{3}=2+\frac{1}{3} + 2\cdot \frac{1}{3}=3\\3*\frac{1}{4}=3+\frac{1}{4} + 3\cdot \frac{1}{4}=4[/tex]
Vom demonstra prin inductie ca:
[tex]1*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}...*\frac{1}{n}=n[/tex]
Pentru n=2 avem propozitia adevarata de mai sus.
Presupunem ca pentru orice k natural, avem:
[tex]1*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}...*\frac{1}{k}=k[/tex]
Calculam valoarea predicatului pentru k+1:
[tex]1*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}...*\frac{1}{k}*\frac{1}{k+1}=k+1[/tex]
Prin urmare avem:
[tex]k*\frac{1}{k+1}=k+\frac{1}{k+1}+\frac{k}{k+1}=k+1[/tex]
Adevarat pentru orice valoare naturala a lui k.
Prin urmare:
[tex]1*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}...*\frac{1}{2008}=2008[/tex].
Sper ca ai inteles tot.
