Răspuns:
MB = [tex]12\sqrt{10}[/tex] cm
[tex]A_{MAC} = 288\sqrt{2} cm^2[/tex]
[tex]P_{MAC} = 24\sqrt{2}(\sqrt{3} +1) cm[/tex]
Explicație pas cu pas:
Pentru a afla lungimea laturii MB se analizeaza triunghiul MDB. Latura MD este perpendiculara pe planul ABCD, deci este perpendiculara pe orice latura din planul ABCD. Latura BD face parte din planul ABCD, deci MD este perpendiculara si pe BD => triunghiul MDB este dreptunghic in D
Pentru a calcula latura BD se observa triunghiul dreptungic BCD si se aplica teorema lui Pitagora: [tex]BD^2 = BC^2 + CD^2[/tex]
BC = CD = 24 cm => [tex]BD^2[/tex] = 1152 [tex]cm^2[/tex] => BD = [tex]24\sqrt{2}[/tex] cm
Se aplica teorema lui Pitagora si in triunghiul MDB : [tex]MB^2 = MD^2 + BD^2[/tex]
=> MB = [tex]12\sqrt{10}[/tex] cm
Pentru a calcula laturile triunghiului MAC se aplica teorema lui Pitagora in triunghiul MDC : [tex]MC^2 = MD^2 + DC^2[/tex]
MC = [tex]12\sqrt{6}[/tex] cm
MA = MC = [tex]12\sqrt{6}[/tex] cm
AC = BD = [tex]24\sqrt{2}[/tex] cm
Se duce perpendiculara din M pe AC in punctul P. Cum triunghiul MAC este isoscel cu MA + MC, atunci AP = PC = [tex]\frac{AC}{2} = \frac{24\sqrt{2} }{2} = 12\sqrt{2}[/tex] cm
Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiul MPC: [tex]MC^2 = PC^2 + MP^2[/tex]
[tex]MP^2 = MC^2 - CP^2[/tex] => MP = 24 cm
[tex]A_{MAC} = \frac{AC*MP}{2} = \frac{24\sqrt{2}*24 }{2} = 288\sqrt{2} cm^2[/tex]
[tex]P_{MAC} = MA+MC+AC = 12\sqrt{6} + 12\sqrt{6} +24\sqrt{2} \\= 24\sqrt{6} + 24\sqrt{2} = 24\sqrt{2}(\sqrt{3} +1) cm[/tex]
