Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) verificam pt n=0: 1-1=0 care se divide cu orice numar
n=1: 9 - 1 = 8 se divide cu 8
pp ca 9^n - 1 se divide cu 8 si vom demonstra ca afirmatia este valabila si pt n+1:
9^(n+1) - 1 = 9*9^n + 9 - 9 - 1 =
9(9^n - 1) + 8 primul termen se divide cu 8 cf ip de inductie si 8 se divide cu 8, deci suma se divide cu 8.
b) pt n= 0, este evident, 0 se divide cu orice numar
n=1: 1+5 = 6 deci divizibil cu 6
pasul de inductie:
pp adevarat pt n si demonstrez ca este adevarat si pt n+1:
(n+1)^3 + 5(n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 5n + 5 =
n^3 +5n + 3n^2 + 3n + 6 =
M6(cf. ip. ind.) + 3(n^2 + n + 2) =
M6 + M3 * (n-1)(n+2), unde, in ultimul termen avem un M3 * M2 pt ca oricare ar fi n∈N, par sau impar, sau chiar si 0, avem (n-1)(n+2) divizibil cu 2, deci avem in final M6 + M3 * M2 = M6 + M6 = M6, deci divizibil cu 6.
c) n=0, evident 0 divizibil cu 6
n=1 18 divizibil cu 6
pasul de inductie:
pp 13^n + 7^n - 2 divizibil cu 6
13^(n+1) + 7^(n+1) - 2 =
13^n * 13 + 7^n * 7 - 14 + 12 =
7(13^n + 7^n - 2) + 13^n *6 + 12, unde avem 3 termeni care sunt divizibili cu 6:
primul(paranteza) cf ipotezei de inductie, iar ultimii doi deoarece sunt multipli de 6, deci toata suma este divizibila cu 6.
d) n=0: 3 + 2^2 = 7, ok, divizibil cu 7
pp adevar ipoteza de inductie, adica
3^(2n+1) + 2^(n+2) se divide cu 7
v.d. ca este adevar si pentru n+1:
3^(2n+3) + 2^(n+3) = 9*3^(2n+1) + 2*2^(n+2) =
9(3^(2n+1) + 2^(n+2)) - 7*2^(n+2), suma algebrica compusa in care paranteza este divizibila cu 7 conform ip. de inductie si ultimul termen este evident multiplu de 7, deci toata suma algebrica este divizibila cu 7.
