Salut!
* * * *
Ipoteză: ΔABC, m(∡BAC)=60°
m(∡ABC)=30°
AC=12 cm
______________________________________________
Concluzie: a) BC=?
b) d(C, AB)=?
c) AΔABC=?
______________________________________________
Demonstrație: a) m(∡ACB)=180°-60°-30°=90°
tg(∡ABC)=[tex]\frac{AC}{BC}[/tex]
tg30°=[tex]\frac{AC}{BC}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{3} }{3} =\frac{AC}{BC}=>BC=\frac{3AC}{\sqrt{3} } \\ \\ BC=\frac{3*12}{\sqrt{3}}~cm\\\\ BC=\frac{36\sqrt{3}}{3}~cm\\\\ BC=12\sqrt{3}~cm[/tex]
b) Fie CD⊥AB, D∈(AB).
d(C, AB)=CD și citim distanța de la C la AB este CD, adică înălțimea CD.
În ΔCDA, m(∡D)=90°:
sin(∡CAD)=[tex]\frac{CD}{AC}[/tex]
sin 60°=[tex]\frac{CD}{AC}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{CD}{AC}=>CD=\frac{AC\sqrt{3}}{2}\\\\ CD=\frac{12\sqrt{3}}{2}~cm\\\\ CD=6\sqrt{3}~cm[/tex]
c) AΔABC=[tex]\frac{c_{1}*c_{2}}{2}=\frac{BC*AC}{2}=\frac{12\sqrt{3}~cm*12~cm}{2}=72\sqrt{3}~cm^{2}[/tex]
sau
În ΔBCA, m(∡C)=90° din T.∡30=>[tex]AC=\frac{AB}{2}=>AB=2AC=2*12~cm=24~cm[/tex]
AB=2AC
AB=2*12 cm
AB=24 cm
AB mai poate fi calculată și aplicând teorema lui Pitagora.
În ΔBCA, m(∡C)=90° din T. Pitagora=>AB²=AC²+BC
AB=√(AC²+BC²)
AB=√(432+144) cm
AB=√576 cm
AB=24 cm
AΔABC=[tex]\frac{b*h}{2}=\frac{AB*CD}{2}=\frac{24~cm*6\sqrt{3}~cm}{2}=72\sqrt{3}~cm^{2}[/tex]
* * * *
Observații:
1. sin=cateta opusă/ipotenuză
cos=cateta alăturată/ipotenuză
tg=sin/cos=cateta opusă/cateta alăturată
ctg=(sin/cos)^(-1)=cos/sin=cateta alăturată/cateta opusă
tg 30°=sin 30°/cos 30°=(1/2):(√3/2)=1/2*2/(√3)=1/√3=√3/3
2. Teorema ∡30: Într-un Δ dreptunghic cu un ∡ de 30°, cateta ce se opune ∡ de 30° este 1/2 din ipotenuză.
Am anexat figura.
