Răspuns:
Explicație pas cu pas:
f: (0, +∞) ->R, f(x)=8x²-lnx.
Pe intervalul (0, +∞), funcția f este continue, ca diferență de două funcții elementare continue.
În subpunctul a) s-au găsit intervalele de monotonie.... S-a găsit că pentru x=1/4 funcția f obține valoare minimă. Pentru x∈(0; 1/4] funcția f este monoton descrescătoare, iar pentru x∈[1/4; +∞) funcția este monoton crescătoare. Deci f(min)=f(1/4)=8·(1/4)²-ln(1/4)=8·(1/16)-ln(2⁻²)=1/2 -(-2)·ln2.
Deci, f(min) = 1/2 +2ln2, este cea mai mică valoare a funcției pentru ∀x∈(0;+∞). Deci, f(x)≥1/2 +2ln2 pentru ∀x∈(0;+∞).
De aici apare și concluzia, că
f(x)≥m, pentru ∀x∈(0;+∞), dacă m≤1/2 +2ln2.
