Răspuns:
Fie funcţia f:D→R şi x0∈D, D interval sau reuniune de intervale reale.
Definiţia 1. Se spune că f are derivată în punctul x0 dacă există limx→x0f(x)−f(x0)x−x0.
Definiţia 2. Se spune că f este derivabilă în punctul x0 dacă există şi este finită limx→x0f(x)−f(x0)x−x0.
Notaţie: Limita limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 se notează cu f′(x0)şi se numeşe derivata funcţiei în punctul x0.
Definiţia 3. Funcţia f:D→R este derivabilă pe mulţimea D′⊆D dacă f este derivabilă în fiecare punct din D'.
Problema 1. Să se demonstreze că funcţia f:R−{−1},f(x)=xx+1 este derivabilă în punctul x0=1.
Soluţie.
limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0xx+1−12x−1=limx→x0x−12(x+1)x−1=limx→x012(x+1)=14,
deci f este derivabilă în x0=1 şi f′(1)=14.
Teoremă Dacă funcţia f:D→R este derivabilă în punctul x0⊆D, atunci f este continuă în punctu
SPER CA AM FOST DE AJUTOR! :))
