[tex]$\frac{x}{y} + \frac{x+1}{y + 1} + \frac{x+2}{y+2} + ... + \frac{x + 2011}{y + 2011} = 2012$\\\text{Presupunem ca $x > y$, deci $\frac{x+a}{y+a} > 1$ pentru orice $a \geq 0$, de aici avem:}[/tex]
[tex]$\frac{x}{y} + \frac{x+1}{y+1} + ... + \frac{x + 2011}{y + 2011} = 2012 > 1 + 1 + 1 ... + 1 = 2012 \iff 2012 > 2012$[/tex]
Deci avem o contradicție.
[tex]\text{Pentru cel de-al doilea caz presupunem ca $x < y \implies \frac{x+a}{y + a} < 1$ pentru oricare $a \geq 0$}[/tex]
Atunci [tex]$\frac{x}{y} + \frac{x+1}{y + 1} + ... + \frac{x+2011}{y+2011} = 2012 < 1 + 1 + 1 + ... 1 = 2012 \iff 2012 < 2012$[/tex]
Avem, din nou, o contradicție și știm că x nu e mai mare sau mai mic ca y, deci x = y.
