Răspuns:
✿ Salut! ✿
✎ Cerință: c) Demonstrați că dreptele VA și VM sunt perpendiculare.
✯✯✯ Rezolvare: ✯✯✯
Dacă trebuie să demonstrăm că VA ⊥ VM, trebuie să demonstrăm că m(∡MVA) = 90°
M - mijlocul laturii BC
Δ ABC - echilateral
⇒ AM - înălțimea Δ ABC
[tex]AM = \frac{l\sqrt{3}}{2}\\\\AM=\frac{\not18\sqrt{3}}{\not2}\\\\AM = 9\sqrt{3}\;cm[/tex]
[tex]AO=\frac{2}{\not3}*\not9\sqrt{3}\\\\AO=6\sqrt{3}\;cm\\\\OM=9\sqrt{3}-6\sqrt{3}\\\\OM = 3\sqrt{3}\;cm[/tex]
în Δ VOM
m(∡O) = 90°
[tex]\implies VO^{2} = VM^{2}-OM^{2}\\\\VO^{2}=9^{2}-(3\sqrt{3})^{2}\\\\VO^{2}=81-27\\\\VO^{2}=54\\\\VO=\sqrt{54}\\\\VO=3\sqrt{6}\;cm[/tex]
în Δ VOA
m(∡O) = 90°
[tex]\implies VA^{2}=OA^{2}+VO^{2}\\\\VA^{2}=(6\sqrt{3})^{2}+(3\sqrt{6})^{2}\\\\VA^{2}=108+54\\\\VA^{2}=162\\\\VA = \sqrt{162}\\\\VA = 9\sqrt{2}\;cm[/tex]
Presupunem că m(∡MVA) = 90°
în Δ MVA
m(∡V) = 90°
[tex]\implies AM^{2}=AV^{2}+VM^{2}\\\\(9\sqrt{3})^{2}=(9\sqrt{2})^{2}+9^{2}\\\\243=162+81\\\\243=243[/tex]
⇒ m(∡AVM) = 90° ⇒ AV ⊥ VM
