Dreptunghiul AMND din imagine este format din 2 patrate alaturate.
Diadonala AN imparte dreptunghiul in 2 triunghiuri congruente.
[tex]\displaystyle\bf\\\triangle MNA\equiv\triangle DAN\\BC~\Big|\Big|~MN\\\\\implies BP~\Big|\Big|~MN\\\\AB=BM\\\\\implies BP~este~linie~mijlocie~in~\triangle MNA\\\\\implies \triangle MNA~este~asemenea~cu~\triangle BPA\\\\cu~raportul~de~asemanare~k=\frac{AM}{AB}=2\\\\ Stim~ca~~\triangle MNA\equiv\triangle DAN\\\\\implies~si~\triangle DAN~este~asemenea~cu~\triangle BPA\\\\cu~acelasi~coeficient~de~asemanare:\\\\k=\frac{DN}{BA}=2\\\\[/tex]
.
Explicatie:
Daca doua triunghiuri sunt asemenea atunci coeficientul de asemanare k este egal cu raportul oricaror laturi corespondente ale triunghiuri si este egal cu raportul oricaror linii coresponente interioare triunghiului cum ar fi raportul inaltimilor, raportul medianelor, raportul bisectoarelor duse din varfuri corespondente in cele 2 triunghiuri.
.
[tex]\displaystyle\bf\\\textbf{Inpatratul ABCD diagonala BD este in acelasi timp }\\\textbf{si bisectoarea unghiurilor }~\angle B~si~\angle D~ale~patratului.\\\implies~DR~este~bisectoarea~\angle D~in~\triangle DAN\\si~BR~este~bisectoarea~\angle B~in~\triangle BPA\\\triangle DAN \sim \triangle BPA~cu~k =2\\\\ k=\frac{DN}{BA}=\frac{DR}{BR}=2\\\\ DR+BR=BD=6\sqrt{2}~cm\\\\\mplies~DR=\frac{2}{3} ~din~BD=\frac{2}{3}\times6\sqrt{2}=2\times2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\\\\\mplies~\boxed{\bf~x=4\sqrt{2}~cm}[/tex]
