👤
Alexandravertzone
a fost răspuns

[tex]Demonstrati~ca~n!\geq 2^{n}, n\geq 4.[/tex]

Răspuns :

Baiatul122001zone

Demonstram prin inductie matematica :P(n):n!≥2ⁿ,∀n≥4

1.Verificarea:P(4):4!≥2⁴<=>1*2*3*4≥2*2*2*2|:8<=>3≥2(A)

2.Demonstratia:P(k)->P(k+1),∀k≥4

fie v(P(k))=1∀k≥4

[tex]P(k):k!\geq 2^k, \forall k \geq 4\\P(k+1):(k+1)!\geq 2^{k+1},\forall k \geq 4\\[/tex]

_________________________\\_

[tex](k+1)!\geq 2^{k+1},\forall k \geq 4<=>k!(k+1)\geq 2*2^k,\forall k \geq 4<=>k!\geq \frac{2*2^k}{k+1} (A),\forall k \geq 4\\=>P(k)_>P(k+1),\forall k \geq 4\\=>v(P(n))=1.\forall n \geq 4\\[/tex]

Rayzenzone

[tex]n!\geq 2^n,\quad n\geq 4\\ \\ \displaystyle \prod\limits_{k=1}^{n}k\geq \prod\limits_{k=1}^{n}2 \,\Leftrightarrow\\ \\ \Leftrightarrow\,1\cdot 2\cdot 3\cdot \prod\limits_{k=4}^{n}k\geq 2\cdot 2\cdot 2\cdot \prod\limits_{k=4}^{n}2\\ \Leftrightarrow \, \dfrac{3}{4}\prod\limits_{k=4}^{n}k\geq \prod\limits_{k=4}^{n}2[/tex]

[tex]\displaystyle \\\diamond\,\,\textbf{Pentru }\,n = 4:\\ \\\dfrac{3}{4}\cdot 4\geq 2 \quad (A)\\ \\ \diamond\,\,\textbf{Pentru }\,n\geq 5:\\ \\ \dfrac{3}{4}\cdot 4\cdot \prod\limits_{k=5}^{n}k \geq 2\cdot \prod\limits_{k=5}^{n}2 \,\Leftrightarrow\,3\prod\limits_{k=5}^{n}k \geq 2 \prod\limits_{k=5}^{n}2\\\\\\ {\!}\left\{\begin{aligned}3&\geq 2 \\ k \geq 2\Rightarrow \prod\limits_{k=5}^n k&\geq \prod\limits_{k=5}^n 2\end{aligned}\right|\,\Rightarrow\,3\prod\limits_{k=5}^{n}k \geq 2 \prod\limits_{k=5}^{n}2\quad (A)[/tex]

[tex]\Rightarrow\, n!\geq 2^n,\quad \forall n\geq 4[/tex]

Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru web care acoperă despre Matematică. Sperăm că informațiile furnizate v-au fost utile. Nu ezitați să ne contactați dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară. Ne vedem data viitoare și nu ratați să marcați.


Zone Alte intrebari