Răspuns:
[tex]a)~ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+x+1}-x)= \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x+1}-x)(\sqrt{x^2+x+1}+x)}{\sqrt{x^2+x+1}+x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}+x+1-x^{2}}{\sqrt{x^2+x+1}+x}= \lim_{x \to -\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}= \lim_{x \to -\infty}\frac{x(1+\frac{1}{x}) }{x(\frac{1}{x}\sqrt{x^2+x+1}+1 )}= \lim_{x \to -\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{-\frac{1}{\sqrt{x^{2}} }*\sqrt{x^2+x+1}+1 } = \\[/tex]
[tex]=\lim_{x \to -\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{-\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}+1 }= \lim_{x \to -\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+1 }=\frac{1+0}{-\sqrt{1+0+0} +1}=\frac{1}{-1+1}=\frac{1}{0}=\infty.\\[/tex]
Deci nu are asimptota orizontala spre -∞.
Explicație pas cu pas:
b) Expresia x²+x+1>0 pentru ∀x∈R, deoarece Δ=1²-4·1·1=1-4=-3<0
Atunci relatia √(x²+x+1) > x+(1/2) este adevarata pentru x+(1/2)<0.
Sa demonstram ca relatia este adevarata si pentru x+(1/2)≥0.
Ridicam la patrat si obtinem x²+x+1>(x+(1/2))², ⇒x²+x+1>x²+2·x·(1/2)+(1/2)², ⇒x²+x+1>x²+x+(1/4), ⇒1>(1/4), adevarat, deci relatia este adevarata si pentru x+(1/2)≥0.
Atunci ea este adevarata pt. ∀x∈R.
