Explicație pas cu pas:
[tex]A^3=A\iff A^3-A=0[/tex], adică [tex]p=x^3-x[/tex] este um polinom anulator, ceia ce inseamnă că [tex]p(A)=0_n[/tex]. Mai bine, [tex]p=x(x-1)(x+1)[/tex]. Polinomul minim [tex]p_m[/tex] are proprietatea de a împărți orice polinom anulator. De aici avem [tex]p_m\mid p[/tex]. Tot o proprietate a polinomului minim ne garantează că
[tex]\forall x\in\mathbb{R}\quad \Big(p_m(x)=0\iff p_c(x)=0\Big)[/tex]
unde [tex]p_m[/tex] este polinomul caracteristic matricei în analizare. Putem deci conclude că matricea [tex]A[/tex] are maxim 3 valori proprii: [tex]0,-1,1[/tex]. Tot printr-o proprietate a polinomului minim, se știe că dacă se descompune în factori lineari diferiți 2 câte 2, v-a însemna că suma dimensiunii spațiilor proprii va fi egală cu [tex]n[/tex] care este dimensiunea matricei, adică, în cazul nostru v-a arăta așa:
[tex]\text{dim}M_0+\text{dim}M_{-1}+\text{dim}M_{1}=n[/tex]
unde [tex]M_{\lambda}:=\left\{X\in \mathbb{R}^n:\: AX=\lambda X\right\}[/tex].
O altă proprietate din algebră liniară ne zice că
[tex]\text{dim}M_{\lambda}=n-r(A-\lambda I_n)[/tex].
Pentru încheiere, vom avea deci:
[tex]r(A)+r(A+I_n)+r(A-I_n)=n-\text{dim}M_0+n-\text{dim}M_{-1}+n-\text{dim}M_1=3n-\underbrace{(\text{dim}M_{0}+\text{dim}M_{-1}+\text{dim}M_{1})}_{=n}=2n[/tex].
Cer iertare pentru româna mea. Nu învăț într-o țară de limba română de 8 ani.
