👤

Fie ABCD un dreptunghi cu diagonala de 6radical5 cm si aria de 72 cm.Lungimea dreptunghiului este de...

Răspuns :

Notez dimennsiunile dreptunghiului cu x si y si obtin:
x²+y²=180
xy=72
(x+y)²=x²+y²+2xy=180+144=324⇒x+y=18
Se observa ca numerele 8 si 9 au suma 18 si produsul 72, deci lungimea este 9 cm.
Aici am gresit, si am fost avertizat de Astronos 27. Este vorba intr-adevar de numerele 12 si 6, deci lungimea este 12, asa cum a rezolvat cineva mai jos.

Se pot afla numerele x si y din ecuatia de gradul doi [tex] x^{2} -18x+72=0[/tex]
(ecuatia [tex] x^{2} -Sx+P=0[/tex] este ecuatia ale carei radacini dau suma S
 si produsul P.)
[tex]\Delta=324-288=36\Rightarrow x_{1,2}=\dfrac{18\pm6}{2}\Rightarrow x_1=12;x_2=6[/tex]


Sa notam latimea dreptunghiului cu a, iar lungimea cu l.

Din faptul ca aria este de 72 cm, obtinem prima relatie, si anume ab=72.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD, cu ipotenuza BD, de [tex]6 \sqrt{5} [/tex]. Obtinem  [tex](6 \sqrt{5})^2=a^2+b^2 [/tex]. De aici, [tex]a^2+b^2=180[/tex]

Scotand din prima relatie pe b si tinand cont ca a este diferit de 0, obtinem [tex]b= \frac{72}{a} [/tex].

Inlocuim in cea de-a doua relatie.

[tex]a^2+ (\frac{72}{a})^2=180 [/tex]

Eliminam numitorul.

[tex]a^4+5184=180a^2 <=> a^4-180a^2+5184=0[/tex]

Am obtinut o ecuatie bipatrata in necunoscuta a. Notam [tex]a^2=y>0[/tex] si obtinem ecuatia de gradul 2 in necunoscuta y:

[tex]y^2-180y+5184=0[/tex]

[tex]delta=11664=108^2[/tex]

Solutiile sunt y1=36 si y2=144, ambele pozitive, deci convin.

Pentru  [tex]y1=36 => a^2=36 => a=6 => b= \frac{72}{6} =12[/tex]
Pentru  [tex]y2=144 => a^2=144 => a=12 => b= \frac{72}{12} = 6[/tex]

Deci latimea, respectiv lungimea, vor fi de 6 cm, respectiv de 12 cm.