Rezultatul sumei nu este corect.
Pentru [tex]n=2[/tex] se obține suma [tex]\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]=2[/tex], dar înlocuind în dreapta se obține 3.
La fel dacă n=3 se obțin rezultate diferite.
Dar să calculăm totuși suma.
Avem [tex]\left[\sqrt{m}\right]=k\Leftrightarrow k\le \sqrt{m}<k+1\Leftrightarrow k^2\le m<(k+1)^2[/tex].
Deci:
[tex]\left[\sqrt{m}\right]=1\Rightarrow 1\le m<4[/tex]
[tex]\left[\sqrt{m}\right]=2\Rightarrow 4\le m<9[/tex]
.......................................................................
[tex]\left{\sqrt{m}=n-2\Rightarrow (n-2)^2\le m<(n-1)^2[/tex]
Avem [tex](n-1)^2<n(n-1)<n^2[/tex], deci pentru numerele de la [tex](n-1)^2[/tex] la [tex]n^2-n[/tex] partea întreagă a radicalului este [tex]n-1[/tex].
Atunci suma este
[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}k\left[(k+1)^2-k^2\right]+(n-1)\left(n^2-n-(n-1)^2+1\right)=\\=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}(2k^2+k)+n(n-1)=\\=2\cdot\displaystyle\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}+\frac{(n-2)(n-1)}{2}+n(n-1)=\\=\displaystyle\frac{(n-1)(4n^2-5n+6)}{6}[/tex]
