Fie [tex]z=a+bi[/tex].
Atunci [tex]|z+1|=|a+1+bi|=\sqrt{(a+1)^2+b^2}[/tex].
Înlocuind, obținem
[tex]\sqrt{(a+1)^2+b^2}=a+2+i(b-1)[/tex].
Membrul stâng este număr real pozitiv, deci trebuie ca și membrul drept să fie real. Rezultă [tex]b=1[/tex].
Atunci [tex]\sqrt{(a+1)^2+1}=a+2[/tex]
Ridicăm ambii membri la pătrat:
[tex]a^2+2a+2=a^2+4a+4\Rightarrow -2a=2\Rightarrow a=-1[/tex]
Deci [tex]z=-1+i[/tex]
